BC Brogilo

Een beetje statistiek over het schudden van een spel kaarten.

Met behulp van een schudprogramma (bv. Big Deal) worden de spellen willekeurig over de 4 handen verdeeld. Je kan wiskundig berekenen hoe groot de kans is op bepaalde handverdelingen. De kans op een 4-4-3-2 verdeling is aanmerkelijk groter dan op bijvoorbeeld een 4-4-4-1 verdeling. De frequenties waarmee de verschillende handen theoretisch voorkomen is hieronder weergegeven:

4432: 21.55%	5332: 15.52%	5431: 12.93%	5422 :10.58%
4333: 10.54%	6322: 5.64%	6421: 4.70%	6331 : 3.45%
5521: 3.17%	4441: 2.99%	7321: 1.88%	6430: 1.33%
5440: 1.24%

De overige verdelingen komen in minder dan 1% voor.
Anders gezegd: je mag verwachten dat je gemiddeld bijna de helft van de gedeelde spellen (47,61%) een vlakke verdeling hebt (4443, 4432 of 5322). Je kan daarentegen ook verwachten dat je in bijna 35,7% van de handen een singleton of een renonce hebt (dat zijn gem. 8 à 9 spellen per avond).

De kans op een bepaalde verdeling is 52!/13!⁴, met ! de mathematische faculteit (4! = 1x2x3x4 = 24, 13! = 1x2x…x12x13 = 6227020800).
Het aantal mogelijke bridgehandjes is gelijk aan 53.644.737.765.488.792.839.237.440.000, ongeveer gelijk aan 0.7 x 2⁹⁶.

Vanaf begin december 2013 heeft BC Brogilo een dupliceermachine en de spellen worden met Big Deal aangemaakt.
De verdeling van de spellen die daarmee zijn gespeeld is als volgt: (NB: handgeschudde spellen staan hier niet bij)

Aantal handen t/m 27-07-2024 = 50944:

verdeling	Aantal	%	% theo- retisch
4432	10856	21.31	21.55
5332	7762	15.24	15.52
5431	6453	12.67	12.93
5422	5399	10.60	10.58
4333	5225	10.26	10.54
6322	2908	5.71	5.64
6421	2360	4.63	4.7
6331	1710	3.36	3.45
5521	1613	3.17	3.17
4441	1485	2.91	2.99
7321	983	1.93	1.88
6430	662	1.30	1.33
5440	590	1.16	1.24
5530	458	0.899
6511	339	0.665
6520	317	0.622
7222	295	0.579
7411	193	0.379
5432	190	0.373
7420	174	0.342
7330	128	0.251
8221	104	0.204
4433	81	0.159
7510	71	0.139
8311	60	0.118
8320	50	0.098
6332	46	0.090
4442	42	0.082
6422	39	0.077
5333	38	0.075
6610	37	0.073
5531	36	0.071
6431	35	0.069
5441	32	0.063
8410	29	0.057
6521	24	0.047
5522	24	0.047
7322	16	0.031
9220	10	0.020
6530	9	0.018
7331	9	0.018
7421	9	0.018
9211	8	0.016
5540	6	0.012
8500	4	0.008
7520	4	0.008
8321	3	0.006
8222	3	0.006
7430	3	0.006
7600	2	0.004
8420	2	0.004
9310	1	0.002
9400	1	0.002
6620	1	0.002
10210	1	0.002
9320	1	0.002
6440	1	0.002
6611	1	0.002
8411	1	0.002
renonces	2562	5.03
een of meer singletons	15597	30.62
een of meer doubletons	33244	65.26
zeskaarten	8489	16.66
zevenkaarten	1887	3.70
achtkaarten	256	0.50
negenkaarten	21	0.04

Hier is te zien dat de spellen goed "geschud" zijn en is de afwijking van de theorie klein.
Toch wordt er soms gemopperd op de "computerspellen". Om hier antwoord op te geven is het goed om de spelregels van de NBB er even op na te slaan. In artikel 6, lid A is opgenomen dat vóór het spelen elk spel grondig moet worden geschud. In artikel 5, lid D staat: "... mag het resultaat (van het spelen) niet gehandhaafd worden als de kaarten zijn gegeven met een voorgesorteerd spel kaarten zonder dat het geschud is". Daarbij is een voetnoot opgenomen die een definitie geeft van een voorgesorteerd spel kaarten: een spel kaarten dat niet willekeurig is verdeeld ten opzichte van de vorige verdeling.

Er zijn 2 elementen in dit artikel, die de aandacht behoeven.
Dat zijn het grondig schudden en de willekeurigheid van de verdeling voordat het geven plaatsvindt. Anders gezegd: er mag alleen een schudmethode worden gebruikt die geheel op toeval berust. De achtergrond hiervan is duidelijk: ieder spel bij het bridgen moet een "echt nieuw spel" zijn. De spelregels schrijven dus voor dat de kaarten volstrekt willekeurig worden verdeeld. Zoals hierboven is aangetoond, benaderd het resultaat van het schudprogramma dat we nu gebruiken zeer dicht de "willekeurige" spelverdeling. Het gemopper van sommigen wordt waarschijnlijk beïnvloed door het feit dat handgeschudde spellen meer afwijken van de theoretisch verwachte verdeling. Feit is dat het schudden met de hand, wat we in het verleden altijd deden, vaak "slecht" gebeurde. In artikelen die daarover verschenen zijn, wordt wel eens de ideale manier van schudden beschreven: na afloop van de speelronde dienen alle kaarten goed geschud te worden en vervolgens moet bij het begin van een speelronde hetzelfde spel nog minimaal 7 keer "gewassen" worden. In de praktijk gebeurt dat niet, waardoor er geen volstrekt willekeurige handverdeling ontstaat. Over het algemeen zullen de verdelingen van handgeschudde spellen vlakker zijn dan van "goed"geschudde spellen. Het bewijs hiervoor is moeilijk te leveren omdat we geen verdeling hebben bijgehouden van de handgeschudde spellen.
Ad Cosijn, lid van het bondsbureau van de NBB, heeft wel eens een keer in een seizoen de handgeschudde spellen bijgehouden en geïnventariseerd: hij kwam op basis van 632 spellen op bijna 53% vlakke verdelingen (4333, 4432 of 5322 verdeling). Dat is dus ruim 5 procent hoger dan bij een volstrekt willekeurige kaartverdeling verwacht mag worden. Het ligt voor de hand dat ook bij ons in het verleden vlakke verdelingen te vaak voorkwamen. Als dat zo is, dan is het gevoel juist dat met de introductie van met de computer geschudde spellen er wat vaker extremere verdelingen voorkomen. Nog even ter illustratie: als de kans dat je een hand met een singleton of renonce hebt al bijna 36 % is, dan is de kans dat er in één spel (alle 4 handen dus) een hand met een singleton of renonce voorkomt logischerwijs aanmerkelijk groter. In de praktijk is het zo dat er gemiddeld in ruim 16 van de 24 spellen die op een avond gespeeld worden wel één singleton of renonce voorkomt. Voor sommigen is het dus even wennen geweest, die computerspellen! Maar uit het bovenstaande blijkt dat we nu eigenlijk nu pas met "goed" geschudde spellen spelen. We hopen van harte dat de spelvreugde hierdoor alleen maar toeneemt. En als de verdeling toch een keer vreselijk tegenzit, bedenk dan maar als troost, dat bij alle andere paren de verdeling precies hetzelfde is!