BC Brogilo

Een beetje statistiek over het schudden van een spel kaarten.

Met behulp van een schudprogramma (bv. Big Deal) worden de spellen willekeurig over de 4 handen verdeeld. Je kan wiskundig berekenen hoe groot de kans is op bepaalde handverdelingen. De kans op een 4-4-3-2 verdeling is aanmerkelijk groter dan op bijvoorbeeld een 4-4-4-1 verdeling. De frequenties waarmee de verschillende handen theoretisch voorkomen is hieronder weergegeven:

4432: 21.55%	5332: 15.52%	5431: 12.93%	5422 :10.58%
4333: 10.54%	6322: 5.64%	6421: 4.70%	6331 : 3.45%
5521: 3.17%	4441: 2.99%	7321: 1.88%	6430: 1.33%
5440: 1.24%

De overige verdelingen komen in minder dan 1% voor.
Anders gezegd: je mag verwachten dat je gemiddeld bijna de helft van de gedeelde spellen (47,61%) een vlakke verdeling hebt (4443, 4432 of 5322). Je kan daarentegen ook verwachten dat je in bijna 35,7% van de handen een singleton of een renonce hebt (dat zijn gem. 8 à 9 spellen per avond).

De kans op een bepaalde verdeling is 52!/13!⁴, met ! de mathematische faculteit (4! = 1x2x3x4 = 24, 13! = 1x2x…x12x13 = 6227020800).
Het aantal mogelijke bridgehandjes is gelijk aan 53.644.737.765.488.792.839.237.440.000, ongeveer gelijk aan 0.7 x 2⁹⁶.

Vanaf begin december 2013 heeft BC Brogilo een dupliceermachine en de spellen worden met Big Deal aangemaakt.
De verdeling van de spellen die daarmee zijn gespeeld is als volgt: (NB: handgeschudde spellen staan hier niet bij)

Aantal handen t/m 21-11-2024 = 54912:

verdeling	Aantal	%	% theo- retisch
4432	11469	20.89	21.55
5332	8201	14.93	15.52
5431	6841	12.46	12.93
5422	5739	10.45	10.58
4333	5567	10.14	10.54
6322	3078	5.61	5.64
6421	2504	4.56	4.7
6331	1812	3.30	3.45
5521	1697	3.09	3.17
4441	1574	2.87	2.99
7321	1042	1.90	1.88
6430	705	1.28	1.33
5440	626	1.14	1.24
5530	485	0.883
5432	456	0.830
6511	368	0.670
6520	339	0.617
7222	309	0.563
7411	209	0.381
4433	208	0.379
7420	188	0.342
7330	135	0.246
6332	121	0.220
8221	111	0.202
5333	101	0.184
4442	100	0.182
6431	99	0.180
6422	90	0.164
5441	85	0.155
5531	76	0.138
7510	75	0.137
8311	64	0.117
6521	62	0.113
5522	55	0.100
8320	51	0.093
6610	40	0.073
7322	39	0.071
8410	32	0.058
7421	21	0.038
6530	19	0.035
7331	19	0.035
5540	14	0.025
6440	12	0.022
9220	10	0.018
8321	10	0.018
9211	8	0.015
7520	8	0.015
7430	8	0.015
8500	4	0.007
7511	4	0.007
8420	4	0.007
6611	3	0.005
8411	3	0.005
8222	3	0.005
7600	2	0.004
9320	2	0.004
9400	1	0.002
6620	1	0.002
10210	1	0.002
9310	1	0.002
8330	1	0.002
renonces	2764	5.03
een of meer singletons	16761	30.52
een of meer doubletons	35719	65.05
zeskaarten	9253	16.85
zevenkaarten	2059	3.75
achtkaarten	283	0.52
negenkaarten	22	0.04

Hier is te zien dat de spellen goed "geschud" zijn en is de afwijking van de theorie klein.
Toch wordt er soms gemopperd op de "computerspellen". Om hier antwoord op te geven is het goed om de spelregels van de NBB er even op na te slaan. In artikel 6, lid A is opgenomen dat vóór het spelen elk spel grondig moet worden geschud. In artikel 5, lid D staat: "... mag het resultaat (van het spelen) niet gehandhaafd worden als de kaarten zijn gegeven met een voorgesorteerd spel kaarten zonder dat het geschud is". Daarbij is een voetnoot opgenomen die een definitie geeft van een voorgesorteerd spel kaarten: een spel kaarten dat niet willekeurig is verdeeld ten opzichte van de vorige verdeling.

Er zijn 2 elementen in dit artikel, die de aandacht behoeven.
Dat zijn het grondig schudden en de willekeurigheid van de verdeling voordat het geven plaatsvindt. Anders gezegd: er mag alleen een schudmethode worden gebruikt die geheel op toeval berust. De achtergrond hiervan is duidelijk: ieder spel bij het bridgen moet een "echt nieuw spel" zijn. De spelregels schrijven dus voor dat de kaarten volstrekt willekeurig worden verdeeld. Zoals hierboven is aangetoond, benaderd het resultaat van het schudprogramma dat we nu gebruiken zeer dicht de "willekeurige" spelverdeling. Het gemopper van sommigen wordt waarschijnlijk beïnvloed door het feit dat handgeschudde spellen meer afwijken van de theoretisch verwachte verdeling. Feit is dat het schudden met de hand, wat we in het verleden altijd deden, vaak "slecht" gebeurde. In artikelen die daarover verschenen zijn, wordt wel eens de ideale manier van schudden beschreven: na afloop van de speelronde dienen alle kaarten goed geschud te worden en vervolgens moet bij het begin van een speelronde hetzelfde spel nog minimaal 7 keer "gewassen" worden. In de praktijk gebeurt dat niet, waardoor er geen volstrekt willekeurige handverdeling ontstaat. Over het algemeen zullen de verdelingen van handgeschudde spellen vlakker zijn dan van "goed"geschudde spellen. Het bewijs hiervoor is moeilijk te leveren omdat we geen verdeling hebben bijgehouden van de handgeschudde spellen.
Ad Cosijn, lid van het bondsbureau van de NBB, heeft wel eens een keer in een seizoen de handgeschudde spellen bijgehouden en geïnventariseerd: hij kwam op basis van 632 spellen op bijna 53% vlakke verdelingen (4333, 4432 of 5322 verdeling). Dat is dus ruim 5 procent hoger dan bij een volstrekt willekeurige kaartverdeling verwacht mag worden. Het ligt voor de hand dat ook bij ons in het verleden vlakke verdelingen te vaak voorkwamen. Als dat zo is, dan is het gevoel juist dat met de introductie van met de computer geschudde spellen er wat vaker extremere verdelingen voorkomen. Nog even ter illustratie: als de kans dat je een hand met een singleton of renonce hebt al bijna 36 % is, dan is de kans dat er in één spel (alle 4 handen dus) een hand met een singleton of renonce voorkomt logischerwijs aanmerkelijk groter. In de praktijk is het zo dat er gemiddeld in ruim 16 van de 24 spellen die op een avond gespeeld worden wel één singleton of renonce voorkomt. Voor sommigen is het dus even wennen geweest, die computerspellen! Maar uit het bovenstaande blijkt dat we nu eigenlijk nu pas met "goed" geschudde spellen spelen. We hopen van harte dat de spelvreugde hierdoor alleen maar toeneemt. En als de verdeling toch een keer vreselijk tegenzit, bedenk dan maar als troost, dat bij alle andere paren de verdeling precies hetzelfde is!