BC Brogilo

Een beetje statistiek over het schudden van een spel kaarten.

Met behulp van een schudprogramma (bv. Big Deal) worden de spellen willekeurig over de 4 handen verdeeld. Je kan wiskundig berekenen hoe groot de kans is op bepaalde handverdelingen. De kans op een 4-4-3-2 verdeling is aanmerkelijk groter dan op bijvoorbeeld een 4-4-4-1 verdeling. De frequenties waarmee de verschillende handen theoretisch voorkomen is hieronder weergegeven:

4432: 21.55%	5332: 15.52%	5431: 12.93%	5422 :10.58%
4333: 10.54%	6322: 5.64%	6421: 4.70%	6331 : 3.45%
5521: 3.17%	4441: 2.99%	7321: 1.88%	6430: 1.33%
5440: 1.24%

De overige verdelingen komen in minder dan 1% voor.
Anders gezegd: je mag verwachten dat je gemiddeld bijna de helft van de gedeelde spellen (47,61%) een vlakke verdeling hebt (4443, 4432 of 5322). Je kan daarentegen ook verwachten dat je in bijna 35,7% van de handen een singleton of een renonce hebt (dat zijn gem. 8 à 9 spellen per avond).

De kans op een bepaalde verdeling is 52!/13!⁴, met ! de mathematische faculteit (4! = 1x2x3x4 = 24, 13! = 1x2x…x12x13 = 6227020800).
Het aantal mogelijke bridgehandjes is gelijk aan 53.644.737.765.488.792.839.237.440.000, ongeveer gelijk aan 0.7 x 2⁹⁶.

Vanaf begin december 2013 heeft BC Brogilo een dupliceermachine en de spellen worden met Big Deal aangemaakt.
De verdeling van de spellen die daarmee zijn gespeeld is als volgt: (NB: handgeschudde spellen staan hier niet bij)

Aantal handen t/m 30-03-2026 = 60320:

verdeling	Aantal	%	% theo- retisch
4432	13051	21.64	21.55
5332	9304	15.42	15.52
5431	7735	12.82	12.93
5422	6472	10.73	10.58
4333	6320	10.48	10.54
6322	3464	5.74	5.64
6421	2811	4.66	4.7
6331	2054	3.41	3.45
5521	1907	3.16	3.17
4441	1767	2.93	2.99
7321	1178	1.95	1.88
6430	802	1.33	1.33
5440	715	1.19	1.24
5530	552	0.915
6511	410	0.680
6520	397	0.658
7222	342	0.567
7411	233	0.386
7420	215	0.356
7330	149	0.247
8221	120	0.199
7510	77	0.128
8311	74	0.123
8320	59	0.098
6610	46	0.076
8410	35	0.058
9220	11	0.018
9211	9	0.015
8500	4	0.007
7600	3	0.005
9310	2	0.003
10210	1	0.002
9400	1	0.002
renonces	3069	5.09
een of meer singletons	18459	30.60
een of meer doubletons	39341	65.22
zeskaarten	9984	16.55
zevenkaarten	2197	3.64
achtkaarten	292	0.48
negenkaarten	23	0.04

Hier is te zien dat de spellen goed "geschud" zijn en is de afwijking van de theorie klein.
Toch wordt er soms gemopperd op de "computerspellen". Om hier antwoord op te geven is het goed om de spelregels van de NBB er even op na te slaan. In artikel 6, lid A is opgenomen dat vóór het spelen elk spel grondig moet worden geschud. In artikel 5, lid D staat: "... mag het resultaat (van het spelen) niet gehandhaafd worden als de kaarten zijn gegeven met een voorgesorteerd spel kaarten zonder dat het geschud is". Daarbij is een voetnoot opgenomen die een definitie geeft van een voorgesorteerd spel kaarten: een spel kaarten dat niet willekeurig is verdeeld ten opzichte van de vorige verdeling.

Er zijn 2 elementen in dit artikel, die de aandacht behoeven.
Dat zijn het grondig schudden en de willekeurigheid van de verdeling voordat het geven plaatsvindt. Anders gezegd: er mag alleen een schudmethode worden gebruikt die geheel op toeval berust. De achtergrond hiervan is duidelijk: ieder spel bij het bridgen moet een "echt nieuw spel" zijn. De spelregels schrijven dus voor dat de kaarten volstrekt willekeurig worden verdeeld. Zoals hierboven is aangetoond, benaderd het resultaat van het schudprogramma dat we nu gebruiken zeer dicht de "willekeurige" spelverdeling. Het gemopper van sommigen wordt waarschijnlijk beïnvloed door het feit dat handgeschudde spellen meer afwijken van de theoretisch verwachte verdeling. Feit is dat het schudden met de hand, wat we in het verleden altijd deden, vaak "slecht" gebeurde. In artikelen die daarover verschenen zijn, wordt wel eens de ideale manier van schudden beschreven: na afloop van de speelronde dienen alle kaarten goed geschud te worden en vervolgens moet bij het begin van een speelronde hetzelfde spel nog minimaal 7 keer "gewassen" worden. In de praktijk gebeurt dat niet, waardoor er geen volstrekt willekeurige handverdeling ontstaat. Over het algemeen zullen de verdelingen van handgeschudde spellen vlakker zijn dan van "goed"geschudde spellen. Het bewijs hiervoor is moeilijk te leveren omdat we geen verdeling hebben bijgehouden van de handgeschudde spellen.
Ad Cosijn, lid van het bondsbureau van de NBB, heeft wel eens een keer in een seizoen de handgeschudde spellen bijgehouden en geïnventariseerd: hij kwam op basis van 632 spellen op bijna 53% vlakke verdelingen (4333, 4432 of 5322 verdeling). Dat is dus ruim 5 procent hoger dan bij een volstrekt willekeurige kaartverdeling verwacht mag worden. Het ligt voor de hand dat ook bij ons in het verleden vlakke verdelingen te vaak voorkwamen. Als dat zo is, dan is het gevoel juist dat met de introductie van met de computer geschudde spellen er wat vaker extremere verdelingen voorkomen. Nog even ter illustratie: als de kans dat je een hand met een singleton of renonce hebt al bijna 36 % is, dan is de kans dat er in één spel (alle 4 handen dus) een hand met een singleton of renonce voorkomt logischerwijs aanmerkelijk groter. In de praktijk is het zo dat er gemiddeld in ruim 16 van de 24 spellen die op een avond gespeeld worden wel één singleton of renonce voorkomt. Voor sommigen is het dus even wennen geweest, die computerspellen! Maar uit het bovenstaande blijkt dat we nu eigenlijk nu pas met "goed" geschudde spellen spelen. We hopen van harte dat de spelvreugde hierdoor alleen maar toeneemt. En als de verdeling toch een keer vreselijk tegenzit, bedenk dan maar als troost, dat bij alle andere paren de verdeling precies hetzelfde is!